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![](saccheri_file/image002.jpg)
Frontespizio e pagina della prima edizione dell ‘
Euclides ab omni
naevo vindicatus
di
Giovanni
Gerolamo Saccheri
Con quest'opera Saccheri vuole
dimostrare che il quinto postulato di Euclide è un teorema in quanto può
essere dedotto dai primi quattro postulati e dalle prime 28 proposizioni
del primo libro degli elementi.
In Nostro espone ragionamenti di un
certo rigore logico , ma le conclusioni alle quali perviene non sono
corrette . Dalla sostituzione del quinto postulato
con altri postulati nasceranno le geometrie non
euclidee . |
![](saccheri_file/image018.jpg) |
Nokolai Ivanovic
Lobacevski
Fu il primo
matematico a costruire la geometria non euclidea
detta iperbolica .
Nella
predetta geometria iperbolica , la quale non presenta nessuna
contraddizione logica , afferma che per un punto di un piano non
appartenente ad una retta , è possibile tracciare
due distinte
“
parallele
“ alla retta data . |
![](saccheri_file/image020.gif)
Gli enti fondamentali
del modello di Klein sono gli stessi
enti della geometria euclidea , che vengono ribattezzati secondo il
seguente schema . Klein
considera una qualsiasi conica , ad esempio l’ellisse
e
:
al
piano euclideo
fa corrispondere la regione interna alla conica
ad
ogni punto
euclideo
fa corrispondere un punto interno di
ad
ogni
retta euclidea
fa corrispondere una corda della conica , esclusi gli estremi .
Dal
disegno della figura notiamo che tutte le rette passanti per il punto Q
si dividono in due classi ciascuna delle quali contiene infinite rette .
Una classe contiene le rette con non incontrano la retta s , l’altra
contiene le rette che incontrano s in un solo punto . Lobacevski chiama
parallele alla retta s condotte dal punto Q le due rette p e q
che separano le rette parallele e per Lobacevski
il V
postulato
viene sostituito dal seguente :
“ per un punto Q
esterno ad una retta s si possono condurre due sole rette parallele ad s
“ |
![](saccheri_file/image024.jpg) |
Bernhard Riemann
Esente da ogni contraddizione è la
geometria ellittica
di Riemann
nella quale manca la nozione di parallelismo . In tale geometria la
somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di due
angoli retti .Questa
geometria fornì ad
Albert Einstein
il modello per lo
spazio-tempo
di
Minkowski
. |
![](saccheri_file/image026.jpg) |
Riemann considera come
piano una
superficie sferica
e chiama :
punto ogni coppia di punti della sfera diametralmente
opposti ,cioè gli estremi di un diametro
retta ogni circonferenza massima .
In questa
geometria la retta è una linea chiusa e la somma degli angoli interni di
un triangolo ( sferico ) è maggiore di due angoli retti . |
![](saccheri_file/image028.jpg)
Si
definisce
geodetica la linea
che rappresenta la minima distanza tra due punti di una stessa
superficie . |
Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un
triangolo è .
Da un punto del piano si può condurre una sola geodetica parallela ad
una geodetica data . Nella geometria sopra una sfera ( geometria
di Riemann ), la somma degli angoli interni di un triangolo è
maggiore di .
Da un punto di una superficie sferica non si può condurre alcuna
geodetica parallela ad una geodetica data . Nella
geometria
sopra una
pseudosfera
( geometria di
Lobacevski
), la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di
.
Da un punto di una pseudosfera si possono condurre infinite geodetiche
parallele ad una geodetica data . |
![](08_4B_2006/08_4B_2006_EUCLIDE/KANT_small.jpg)
Immanuel Kant |
Kant attribuisce allo
spazio ed al tempo il carattere di intuizioni a priori . Egli afferma
nella Critica della ragion pura quanto
segue : << Lo spazio non è un concetto empirico
, ricavato da esperienze esterne.........., è una rappresentazione
necessaria a priori , la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni
esterne >> |
![](08_4B_2006/08_4B_2006_EUCLIDE/GAUSS_small.jpg)
Karl Friedrich Gauss |
Il grande matematico tedesco
, pur essendo convinto che era possibile costruire una geometria
diversa da quella costruita da Euclide , non pubblicò i suoi
lavori in quanto non voleva ascoltare << le strida dei
beoti >> che seguivano acriticamente le concezioni valide in
quel periodo . |
![](08_4B_2006/08_4B_2006_EUCLIDE/NEWTON_small1.JPG)
Isaac Newton |
La fisica classica di Newton considera
lo spazio come un contenitore all'interno del quale si trova la materia
. Tra lo spazio e la materia contenuta in esso non esiste alcuna
interazione . Lo spazio fisico di Newton segue la geometria euclidea
ed è cos' definito : << Lo spazio assoluto , per sua
natura senza relazione ad alcunché di esterno , rimane sempre uguale ed
immobile . |
![](08_4B_2006/08_4B_2006_EUCLIDE/EINSTEIN_small.jpg)
Albert Einstein |
Albert Einstein enuncia la teoria della
relatività generale in base alla quale la presenza della massa dei
corpi incurva lo spazio occupato dalla materia . Le geometrie non
euclidee diventano uno strumento valido per descrivere le
proprietà dello spazio fisico . L'esistenza della deformazione dello
spazio prevista da Einstein fu osservata nel 1919 durante un'eclisse
totale di Sole . |
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