Il quinto postulato di Euclide e le geometrie non euclidee

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Le geometrie non euclidee

Frontespizio e pagina della prima edizione  dell ‘ Euclides ab omni naevo vindicatus

di  Giovanni Gerolamo Saccheri

Con quest'opera Saccheri vuole dimostrare che il quinto postulato di Euclide è un teorema in quanto può essere dedotto dai primi quattro postulati e dalle prime 28 proposizioni del primo libro degli elementi.

In Nostro espone ragionamenti di un certo rigore logico , ma le conclusioni alle quali perviene non sono corrette . Dalla sostituzione del quinto postulato con altri postulati nasceranno le geometrie non euclidee .

) : considera  un generico segmento  ,  traccia i segmenti  e   ad esso perpendicolari e tra loro uguali e congiunge C con D . Cosa si può  dire degli angoli  e  ?

Saccheri dimostra che essi sono uguali e per quanto riguarda la loro ampiezza ipotizza tre possibilità :

 Ipotesi dell’angolo acuto : gli angoli interni  e  sono acuti . Questo equivale a negare il V postulato di Euclide .

 Ipotesi dell’angolo ottuso : gli angoli interni  e  sono ottusi . Questo equivale a negare il V postulato di Euclide .

 Ipotesi dell’angolo retto : gli angoli interni  e  sono retti . Questo equivale all’accettazione del  V postulato di Euclide .

Nokolai Ivanovic Lobacevski

Fu il primo matematico a costruire la geometria non euclidea detta iperbolica . Nella predetta geometria iperbolica , la quale non presenta nessuna contraddizione logica , afferma che per un punto di un piano non appartenente ad una retta , è possibile tracciare due distinte “ parallele “ alla retta data .

Gli enti fondamentali del modello di Klein sono gli stessi enti della geometria euclidea , che vengono ribattezzati secondo il seguente schema .  Klein considera una qualsiasi conica , ad esempio l’ellisse   e :

 al piano euclideo fa corrispondere la regione interna alla conica  

 ad ogni punto euclideo fa corrispondere  un punto interno di  

 ad ogni

Dal disegno della figura notiamo che tutte le rette passanti per il punto Q si dividono in due classi ciascuna delle quali contiene infinite rette . Una classe contiene le rette con non incontrano la retta s , l’altra contiene le rette che incontrano s in un solo punto . Lobacevski  chiama parallele alla retta s condotte dal punto Q le due rette p e q  che separano le rette parallele  e  per  Lobacevski il  V postulato viene sostituito dal seguente : “ per un punto Q esterno ad una retta s si possono condurre due sole rette parallele ad s “

Bernhard Riemann

Esente da ogni contraddizione è la geometria ellittica di Riemann nella quale manca la nozione di parallelismo . In tale geometria la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di due angoli retti .Questa geometria fornì ad Albert Einstein il modello per lo spazio-tempo di Minkowski .

Riemann considera come piano una superficie sferica e chiama :

 punto ogni coppia di punti della sfera diametralmente

   opposti ,cioè gli estremi di un diametro

 retta ogni circonferenza massima .

 Si definisce geodetica la linea che rappresenta la minima distanza tra due punti di una stessa superficie .

Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è  . Da un punto del piano si può condurre una sola geodetica parallela ad una geodetica data . Nella geometria sopra una sfera ( geometria di Riemann ), la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di  . Da un punto di una superficie sferica non si può condurre alcuna geodetica parallela ad una geodetica data . Nella geometria sopra una pseudosfera ( geometria di Lobacevski ), la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di  . Da un punto di una pseudosfera si possono condurre infinite geodetiche parallele ad una geodetica data .

Immanuel Kant

Kant attribuisce allo spazio ed al tempo il carattere di intuizioni a priori . Egli afferma nella Critica della ragion pura quanto segue : <<  Lo spazio non è un concetto empirico , ricavato da esperienze esterne.........., è una rappresentazione necessaria a priori , la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne >>

Karl Friedrich Gauss

Il grande matematico tedesco , pur essendo convinto che era possibile costruire una geometria  diversa da quella costruita da Euclide  , non pubblicò i suoi lavori in quanto non voleva ascoltare << le strida dei beoti >> che seguivano acriticamente le concezioni valide in quel periodo .

Isaac Newton

Albert Einstein

L'esistenza della deformazione dello spazio prevista da Einstein fu osservata nel 1919 durante un'eclisse totale di Sole .