| I paradossi del tutto
e della parte
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Nel 1638 , nell’opera Nuove scienze , Galileo afferma che nel confrontare due infiniti, si incontrano << difficoltà che derivano dal discorrere che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno agli infiniti , dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate ; il che penso che sia inconveniente , perché stimo che questi attributi di maggioranza , minorità ed ugualità non convenghino agli infiniti , dei quali non si può dire , uno essere maggiore o minore o uguale all’altro >> . Nel Paradosso degli interi e dei quadrati Galileo dimostra che " i numeri quadrati " , che sono una parte dei numeri naturali , sono tanti quanti i numeri naturali . Salviati , cioè Galileo , a questa apparente contraddizione dà la seguente interpretazione . << Io non veggo che ad altra decisione si possa venire , che a dire , infiniti essere tutti i numeri , infiniti i quadrati , infinite le loro radici , né la moltitudine dei quadrati essere minore di quella di tutti i numeri , né questa maggiore di quella , ed in ultima conclusione , gli attributi di uguale , maggiore e minore non aver luogo negli infiniti , ma solo nelle quantità terminate . >> . Quindi per Galileo gli infiniti non possono essere confrontati tra di loro . |
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Un altro paradosso dell’infinito , il paradosso geometrico |
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I punti di un segmento sono tanti quanti sono i punti della sua metà . I punti del segmento AB sono tanti quanti sono i punti del segmento DE o del segmento AM , che è una parte del segmento AB . |
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Cantor ha il coraggio , che era mancato a Galileo Galilei , di ammettere che << una parte può essere uguale al tutto >> ; ma cerchiamo di chiarire il significato da dare alla parola << uguale >> . Uguale in senso aristotelico : la parte non può essere uguale ( identica ) al tutto che la contiene , in quanto il tutto ha sempre qualche elemento che la parte non ha ; Uguale nel senso di Cantor : la parte può essere uguale al tutto per numero . Tanti sono i numeri quanti sono i loro quadrati , che sono << meno >> dei numeri , perché ci sono dei numeri che non sono quadrati . Se per concetti diversi non usiamo più la stessa parola uguale , ma usiamo rispettivamente i termini identico ed equipotente , allora la condraddizione si elimina . Un fatto incredibile diventa un fatto normale . Nel caso di un insieme infinito , può accadere che l’intero insieme ed una sua parte , certamente non identici , siano equipotenti , cioè esprimano la stessa numerosità . |