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Sorice Paola

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Saporito Laura

Guerriero Rachele

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Ludovico Ferrari: quando l’allievo supera il maestro

Sebbene il 1500 sia stato per l’Italia un periodo travagliato a causa dell’instabilità politica e della crisi economica e sociale che ebbe conseguenze anche nel campo morale, è proprio in questo periodo che il Rinascimento dà i suoi frutti più cospicui nella letteratura, nelle arti figurative, nella musica e soprattutto nel campo matematico.

In tale ambito, infatti, si è assistito alla fioritura di grandi ingegni, che, scontrandosi tra loro, diedero vita alle cosiddette “disfide matematiche”, delle vere e proprie dispute in cui ogni contendente proponeva all’altro un numero prestabilito di problemi da risolvere nel minor tempo possibile. L’accanimento con cui i matematici partecipavano a tali gare è giustificato dal fatto che esse potevano determinare la conquista o la perdita di cattedre universitarie, oltre che di notevole prestigio. Ad una delle più importanti di queste disfide partecipò Ludovico Ferrari.

Egli nacque a Bologna il 2 febbraio 1522 da Alessandro , che morì quando Ludovico era ancora un bambino. Così andò a vivere da suo zio Vincenzo, che aveva solo un figlio, Luca.  Questi decise di andare a Milano in cerca di lavoro. Qui cominciò a lavorare come servo presso il già noto matematico Gerolamo Cardano; ma questa occupazione non era adatta a lui, e, dopo aver prestato servizio per un po’, lasciò la sua casa, e, senza dirlo a Cardano, ritornò a Bologna.

Il matematico scrisse a Vincenzo Ferrari, chiedendo di rimandargli suo figlio, ma egli invece decise di mandargli suo nipote Ludovico, scrollandosene in questo modo la responsabilità.

Quest’ultimo arrivò a casa di Cardano il 30 novembre 1536, pronto a prendere il posto di suo cugino, e a diventare servo. Cardano, però, essendo venuto a sapere che egli era in grado di leggere e scrivere, lo nominò suo segretario. Il ragazzo non tardò a mostrare le sue grandi doti, cosicché Cardano decise d’insegnargli la matematica, mentre Ferrari ripagava il suo maestro aiutandolo con i suoi manoscritti.

I frutti dello studio furono presto evidenti: già all’età di diciotto anni Ludovico cominciò ad insegnare e nel 1541 il suo maestro gli cedette la cattedra di geometria alla Fondazione Piatti a Milano, conquistata con la vittoria della disfida contro Zuanne de Coi.

Intanto Cardano e Ferrari facevano notevoli progressi anche sulle basi che Tartaglia aveva dato loro. Essendo giunta a Cardano, infatti, la voce che Tartaglia aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado, cercò di convincerlo a rivelargli la formula lusingandolo, minacciandolo, facendogli promesse, e Tartaglia cedette, richiedendo però che la formula restasse segreta.

Ferrari giunse, poi, nel 1540 alla soluzione dell’equazione di quarto grado, riconducendola ad una di terzo grado.La soluzione era la seguente.

 “Data l’equazione:      x⁴+ax²+b=cx,

il problema per Ferrari e Cardano consisteva nel ridurre ambo i membri dell’equazione a dei quadrati e nell’estrarre poi la loro radice quadrata.

Per completare il quadrato al primo membro basta sommare ad ambo i membri 2 2x²-ax². Si ottiene infatti:

x⁴+2 x²-ax²+ax²+b=cx+2 x²-ax²

ovvero:

x⁴+2 x²+b=cx+(2 -a)x²

che, posto =q e 2-a=p, si scrive più semplicemente:

x⁴+2qx+q²=cx+px² (1)

A questo punto bisogna completare il quadrato a secondo membro facendo in modo che il primo membro continui ad essere un quadrato. È questa l’operazione condotta da Cardano per via puramente geometrica.

Si considera il quadrato ABCD di area x⁴, ovvero di lato AB=x²; sui prolungamenti di AB e AD si staccano due segmenti BE=DF=q e si costruisce il quadrato AEGF di lato AE. Se si prolungano i lati BC e DC in modo da incontrare rispettivamente FG e EG nei punti I e H si osserverà che il quadrato AEGF è costituito dai due quadrati ABCD=x⁴ e CHGI=q², nonché dai due rettangoli uguali BECH e DCIF aventi ciascuno area qx² . Dunque il quadrato AEGF è dato da x⁴+2qx²+q² e rappresenta il primo membro della (1).

Prolungando BI ed EG in modo da incontrare MN in Q e R e i lati DH e FG in modo da incontrare il lato LN nei punti P e O, risulta chiaramente che il quadrato ALNM non è altro che il completamento del precedente quadrato AEGF con l’aggiunta dei due rettangoli uguali ELHP e FIQM di area ax², dei due rettangoli uguali HPOG e IGRQ di area aq, e del quadrato GONR di area a². Dunque ALNM=(x²+q+a)² si ottiene da AEGF=x⁴+2qx²+q² quando si aggiunga a questo 2ax²+2aq+a², con che, il primo membro della (1) diviene:

x⁴+2qx+q²+2ax²+2aq+a²=(x²+q+a)² (2)

e il secondo membro:

cx+px²+2ax²+2aq+a² (3)

e quest’ultimo risulterà essere un quadrato perfetto per valori di a tale che il suo discriminante sia uguale a 0, regola antica e familiare equivalente in questo caso a:

c²-4(p+2a)(a²+2aq)=0

che è l’equazione cubica in a:

8a³+4(p+q)a²+8pqa=c² (4)

Trovato il valore di a dalla (4) con la formula di Cardano, si sostituisce nelle (2) e (3) che, per tale valore di a, risulteranno quadrati perfetti. Estraendo le radici quadrate di ambo i membri si otterrà un’equazione di secondo grado in x che fornisce le radici cercate”¹.

Tale soluzione non poteva essere pubblicata, in quanto si sarebbe così rivelato il segreto tenuto nascosto da Tartaglia sulla risoluzione dell’equazione di terzo grado. I due matematici, però, giunti a conoscenza grazie ad Annibale della Nave che in realtà colui che aveva scoperto l’equazione di terzo grado era Scipione Dal Ferro, defunto, ritennero sciolto il giuramento, e si decisero nel 1545 a pubblicare le due soluzioni nell’opera di Cardano “Ars Magna”.

Tartaglia s’infuriò, e Ferrari gli scrisse proponendogli una pubblica disfida. Tartaglia era riluttante a sfidare il giovane, ancora sconosciuto e privo d’esperienza, così i due si scrissero per circa un anno, scambiandosi insulti offensivi, senza mai giungere ad una conclusione. Quando però, nel 1548, Tartaglia ricevette l’offerta di una cattedra a Brescia, per stabilire chi fosse l’uomo più adatto a tale incarico, egli stesso raggiunse Milano, deciso a concludere la contesa. Questa ebbe luogo il 10 agosto 1548 nel giardino della Chiesa dei Frati Zoccolanti a Milano. Essendo divenute le lettere di Ferrari e Tartaglia aperte alla lettura pubblica, accorse una grande folla, insieme ad alcuni uomini di gran spicco.

Ben presto, contrariamente a quanto si pensasse, la questione cominciò a risolversi a favore di Ferrari. Così Tartaglia decise di partire da Milano, lasciando la disfida irrisolta e la vittoria a Ferrari, il quale cominciò a ricevere notevoli offerte, per esempio quella dell’imperatore che lo voleva come maestro di suo figlio. Più tardi divenne esattore delle tasse dei Gonzaga, governatori di Milano, fino al 1565, quando, ammalatosi di ulcera, ritornò a Bologna, ospite della sorella vedova. Per interessamento di Cardano ottenne nel 1564 una lettura di matematica all'università di Bologna. L'anno successivo conseguì la laurea in filosofia e gli fu subito offerta una cattedra, ma non riuscì ad occupare l'ambìto incarico, poiché morì nell'ottobre 1565, forse vittima di un veleno somministratogli dalla sorella.

Ludovico Ferrari fu un grande algebrista, ma anche un grande geometra. Algebra e geometria, infatti, procedevano insieme e si complementavano, come è possibile notare nell’algoritmo risolutivo dell’equazione di 4° grado. È necessario, però, accostarsi all’algebra con spirito nuovo, con creatività, perché il mezzo dell’algebra è proprio l’artifizio. Ovviamente sono fondamentali le basi, la conoscenza dei concetti principali: senza l’aiuto di Cardano, Ludovico, nonostante la sua genialità, non sarebbe potuto giungere alla soluzione di 4° grado e non avrebbe acquisito il prestigio di cui ha potuto godere.

La conquista delle formule risolutive delle equazioni di 3° e 4° grado generò dispute e controversie scientifiche talora eccezionalmente violente .

Occorre notare che i risultati di dette competizioni potevano determinare la conquista o la perdita di cattedre universitarie : ciò giustifica l'accanimento dei contendenti e spiega perché ogni studioso tenesse celate con tanta gelosa cura le proprie scoperte .

Non ancora quindicenne si trasferì a Milano dove ebbe ospitalità presso Cardano .

Quando Cardano si trovò in difficoltà di fronte alla richiesta di risolvere una equazione di 4° grado , in quel periodo ritenuta non risolvibile , il Ferrari , con un tocco di ingegno ,   riuscì nell'impresa .

Nasce una " disfida matematica " tra tartaglia e Ferrari  che intende difendere l'onorabilità del proprio maestro .

Le disfide matematiche più famose

Furono due :

▲  La disputa tra Tartaglia e Antonio Maria Fior , discepolo di Scipione dal Ferro e maestro d'abaco . Vinse facilmente Tartaglia, che fece cappotto .

▲   La " disfida matematica "  tra Tartaglia e Ferrari che si concluse con una pubblica discussione il 10 agosto 1548 .

La principale opera di matematica  di Ludovico Ferrari :

I sei cartelli di matematica disfida pubblicati a Milano nel 1876 per i caratteri di E. Giordani .