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Ludovico Ferrari ,
quando l'allievo supera il maestro
ricerca condotta
dalle alunne
Celotti Anna , Ambrosone Germana ,
Saporito Laura
Sorice Paola , Colucci Maria , Guerriero
Rachele ,
Acierno Alessandra
coordinate dal docente
Salvatore Amico
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Celotti Anna |
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Ambrosone
Germana |
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Sorice Paola |
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Colucci Maria |
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Saporito Laura |
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Guerriero Rachele |
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Acierno Alessandra |
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articolo cliccare sull'allegato file PDF
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Ludovico Ferrari:
quando l’allievo supera il maestro
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Sebbene il 1500 sia stato per l’Italia un
periodo travagliato a causa dell’instabilità politica e della crisi
economica e sociale che ebbe conseguenze anche nel campo morale, è
proprio in questo periodo che il Rinascimento dà i suoi frutti più
cospicui nella letteratura, nelle arti figurative, nella musica e
soprattutto nel campo matematico.
In tale ambito, infatti, si è assistito
alla fioritura di grandi ingegni, che, scontrandosi tra loro, diedero
vita alle cosiddette “disfide matematiche”, delle vere e proprie dispute
in cui ogni contendente proponeva all’altro un numero prestabilito di
problemi da risolvere nel minor tempo possibile. L’accanimento con cui i
matematici partecipavano a tali gare è giustificato dal fatto che esse
potevano determinare la conquista o la perdita di cattedre
universitarie, oltre che di notevole prestigio. Ad una delle più
importanti di queste disfide partecipò Ludovico Ferrari.
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Egli nacque a Bologna il 2 febbraio 1522
da Alessandro , che morì quando Ludovico era ancora un bambino. Così
andò a vivere da suo zio Vincenzo, che aveva solo un figlio, Luca.
Questi decise di andare a Milano in cerca di lavoro. Qui cominciò a
lavorare come servo presso il già noto matematico Gerolamo Cardano; ma
questa occupazione non era adatta a lui, e, dopo aver prestato servizio
per un po’, lasciò la sua casa, e, senza dirlo a Cardano, ritornò a
Bologna.
Il matematico scrisse a Vincenzo Ferrari,
chiedendo di rimandargli suo figlio, ma egli invece decise di mandargli
suo nipote Ludovico, scrollandosene in questo modo la responsabilità.
Quest’ultimo arrivò a casa di Cardano il
30 novembre 1536, pronto a prendere il posto di suo cugino, e a
diventare servo. Cardano, però, essendo venuto a sapere che egli era in
grado di leggere e scrivere, lo nominò suo segretario. Il ragazzo non
tardò a mostrare le sue grandi doti, cosicché Cardano decise
d’insegnargli la matematica, mentre Ferrari ripagava il suo maestro
aiutandolo con i suoi manoscritti.
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I frutti dello studio furono presto
evidenti: già all’età di diciotto anni Ludovico cominciò ad insegnare e
nel 1541 il suo maestro gli cedette la cattedra di geometria alla
Fondazione Piatti a Milano, conquistata con la vittoria della disfida
contro Zuanne de Coi.
Intanto Cardano e Ferrari facevano
notevoli progressi anche sulle basi che Tartaglia aveva dato loro.
Essendo giunta a Cardano, infatti, la voce che Tartaglia aveva trovato
un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado, cercò di
convincerlo a rivelargli la formula lusingandolo, minacciandolo,
facendogli promesse, e Tartaglia cedette, richiedendo però che la
formula restasse segreta.
Ferrari giunse, poi, nel 1540 alla
soluzione dell’equazione di quarto grado, riconducendola ad una di terzo
grado.La soluzione era la seguente.
“Data l’equazione: x4+ax2+b=cx,
il problema per Ferrari e Cardano
consisteva nel ridurre ambo i membri dell’equazione a dei quadrati e
nell’estrarre poi la loro radice quadrata.
Per completare il quadrato al primo membro basta sommare ad ambo i
membri 2 2x2-ax2.
Si ottiene infatti:
x4+2
x2-ax2+ax2+b=cx+2
x2-ax2
ovvero:
x4+2 x2+b=cx+(2 -a)x2
che, posto =q e
2 -a=p,
si scrive più semplicemente:
x4+2qx+q2=cx+px2
(1)
A questo punto bisogna completare il quadrato a secondo membro facendo
in modo che il primo membro continui ad essere un quadrato. È questa
l’operazione condotta da Cardano per via puramente geometrica.
Si considera il quadrato ABCD di area x4, ovvero di lato AB=x2;
sui prolungamenti di AB e AD si staccano due segmenti BE=DF=q e si
costruisce il quadrato AEGF di lato AE. Se si prolungano i lati BC e DC
in modo da incontrare rispettivamente FG e EG nei punti I e H si
osserverà che il quadrato AEGF è costituito dai due quadrati ABCD=x4
e CHGI=q2, nonché dai due rettangoli uguali BECH e DCIF
aventi ciascuno area qx2 . Dunque il quadrato AEGF è dato da
x4+2qx2+q2 e rappresenta il primo
membro della (1).
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Sui
prolungamenti dei lati AE e AF si stacchino due segmenti uguali EL=FM=a
e si costruisca il quadrato ALNM di lato AL=x2+q+a. ALNM avrà
area uguale a (x2+q+a)2.
Prolungando BI ed EG in modo da incontrare MN in Q e R e i lati DH e FG
in modo da incontrare il lato LN nei punti P e O, risulta chiaramente
che il quadrato ALNM non è altro che il completamento del precedente
quadrato AEGF con l’aggiunta dei due rettangoli uguali ELHP e FIQM di
area ax2, dei due rettangoli uguali HPOG e IGRQ di area aq, e
del quadrato GONR di area a2. Dunque ALNM=(x2+q+a)2
si ottiene da AEGF=x4+2qx2+q2 quando si
aggiunga a questo 2ax2+2aq+a2, con che, il primo
membro della (1) diviene:
x4+2qx+q2+2ax2+2aq+a2=(x2+q+a)2
(2)
e il secondo membro:
cx+px2+2ax2+2aq+a2
(3)
e quest’ultimo risulterà essere un quadrato perfetto per valori di a
tale che il suo discriminante sia uguale a 0, regola antica e familiare
equivalente in questo caso a:
c2-4(p+2a)(a2+2aq)=0
che è l’equazione cubica in a:
8a3+4(p+q)a2+8pqa=c2
(4)
Trovato il valore di a dalla (4) con la
formula di Cardano, si sostituisce nelle (2) e (3) che, per tale valore
di a, risulteranno quadrati perfetti. Estraendo le radici quadrate di
ambo i membri si otterrà un’equazione di secondo grado in x che fornisce
le radici cercate”1.
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Tale soluzione non poteva essere
pubblicata, in quanto si sarebbe così rivelato il segreto tenuto
nascosto da Tartaglia sulla risoluzione dell’equazione di terzo grado. I
due matematici, però, giunti a conoscenza grazie ad Annibale della Nave
che in realtà colui che aveva scoperto l’equazione di terzo grado era
Scipione Dal Ferro, defunto, ritennero sciolto il giuramento, e si
decisero nel 1545 a pubblicare le due soluzioni nell’opera di Cardano
“Ars Magna”.
Tartaglia s’infuriò, e Ferrari gli
scrisse proponendogli una pubblica disfida. Tartaglia era riluttante a
sfidare il giovane, ancora sconosciuto e privo d’esperienza, così i due
si scrissero per circa un anno, scambiandosi insulti offensivi, senza
mai giungere ad una conclusione. Quando però, nel 1548, Tartaglia
ricevette l’offerta di una cattedra a Brescia, per stabilire chi fosse
l’uomo più adatto a tale incarico, egli stesso raggiunse Milano, deciso
a concludere la contesa. Questa ebbe luogo il 10 agosto 1548 nel
giardino della Chiesa dei Frati Zoccolanti a Milano. Essendo divenute le
lettere di Ferrari e Tartaglia aperte alla lettura pubblica, accorse una
grande folla, insieme ad alcuni uomini di gran spicco.
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Ben
presto, contrariamente a quanto si pensasse, la questione cominciò a
risolversi a favore di Ferrari. Così Tartaglia decise di partire da
Milano, lasciando la disfida irrisolta e la vittoria a Ferrari, il quale
cominciò a ricevere notevoli offerte, per esempio quella dell’imperatore
che lo voleva come maestro di suo figlio. Più tardi divenne esattore
delle tasse dei Gonzaga, governatori di Milano, fino al 1565, quando,
ammalatosi di ulcera, ritornò a Bologna, ospite della sorella vedova.
Per interessamento di Cardano ottenne nel 1564 una lettura di matematica
all'università di Bologna. L'anno successivo conseguì la laurea in
filosofia e gli fu subito offerta una cattedra, ma non riuscì ad
occupare l'ambìto incarico, poiché morì nell'ottobre 1565, forse vittima
di un veleno somministratogli dalla sorella.
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Ludovico Ferrari fu un grande algebrista, ma anche un grande geometra.
Algebra e geometria, infatti, procedevano insieme e si complementavano,
come è possibile notare nell’algoritmo risolutivo dell’equazione di 4°
grado. È necessario, però, accostarsi all’algebra con spirito nuovo, con
creatività, perché il mezzo dell’algebra è proprio l’artifizio.
Ovviamente sono fondamentali le basi, la conoscenza dei concetti
principali: senza l’aiuto di Cardano, Ludovico, nonostante la sua
genialità, non sarebbe potuto giungere alla soluzione di 4° grado e non
avrebbe acquisito il prestigio di cui ha potuto godere.
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La
conquista delle formule risolutive delle equazioni di 3° e 4°
grado generò dispute e controversie scientifiche talora
eccezionalmente violente .
Occorre
notare che i risultati di dette competizioni potevano
determinare la conquista o la perdita di cattedre universitarie
: ciò giustifica l'accanimento dei contendenti e spiega perché
ogni studioso tenesse celate con tanta gelosa cura le proprie
scoperte .
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Non
ancora quindicenne si trasferì a Milano dove ebbe ospitalità
presso Cardano .
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Quando
Cardano si trovò in difficoltà di fronte alla richiesta di
risolvere una equazione di 4° grado , in quel periodo ritenuta
non risolvibile , il Ferrari , con un tocco di ingegno ,
riuscì nell'impresa .
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Le
scoperte del Ferrari furono coordinate e ridotte a copro di
dottrina dal Cardano nelle sua " Arsa Magna " pubblicata nel
1545 , sei anni dopo che dal Tartaglia aveva ricevuto la regola
pratica per la risoluzione dell'equazione cubica ridotta .
Nasce una " disfida
matematica " tra tartaglia e Ferrari che intende difendere
l'onorabilità del proprio maestro .
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I "
cartelli di disfida matematica " erano delle gare molto in uso
fra i matematici del Cinquecento . Ogni contendente proponeva
all'avversario un numero prestabilito di problemi . Ogni "
cartello " era depositato presso un notaio o un personaggio
influente , stampato e distribuito a molti studiosi .
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Le
disfide matematiche più famose
Furono
due :
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La disputa tra
Tartaglia e Antonio Maria Fior , discepolo di Scipione dal Ferro
e maestro d'abaco . Vinse facilmente Tartaglia, che fece
cappotto .
▲
La " disfida matematica " tra Tartaglia e Ferrari che si
concluse con una pubblica discussione il 10 agosto 1548 .
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La
principale opera di matematica di Ludovico Ferrari :
I sei
cartelli di matematica disfida pubblicati a Milano nel 1876 per
i caratteri di E. Giordani .
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