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Archimede ed il
palinsesto di Costantinopoli
è stato pubblicato su
il giornale del Liceo Scientifico
di Avellino ,
diretto brillantemente dalla docente referente
e dalla Vice Direttrice
![Giovanna Napolitano](archimede_file/image004.gif)
Archimede ed il
palinsesto di Costantinopoli
Ricerca
effettuata dalle alunne della classe VB
Amoroso Valentina ,Cece Filomena ,
Iannaccone Elena , Nargi Carmen ,
coordinate dal prof.
Salvatore Amico
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FIGURA 01
Mosaico
raffigurante la morte di Archimede,
il più grande
matematico dell’antichità ed uno dei più grandi matematici di tutti
tempi.Durante la seconda guerra punica Siracusa si schiera dalla
parte di Cartagine;pertanto subisce l’assedio dei Romani dal 214 al
212 a.C.,anno in cui deve arrendersi.Durante il saccheggio,Archimede
viene ucciso da un soldato romano.Secondo un’altra versione,più
verosimile,un soldato romano entra nella casa dello scienziato e lo
trova immerso nello studio di alcune figure geometriche tracciate
per terra . Infastidito dall’inopportuna,presenza Archimede
redarguisce il rude soldato con la
celebre
frase :
<<
Noli tangere circulos meos
>> . Il soldato,non riconoscendolo,lo uccide,infrangendo gli ordini
del console romano Marcello
il quale,consapevole della grandezza di
Archimede,aveva
ordinato di risparmiargli la vita. |
FIGURA O2
Eratostene
Matematico
greco,famoso per avere inventato il mesolabio,uno strumento
che permette di determinare meccanicamente le medie proporzionali
fra due segmenti,ed il crivello che porta il suo nome e che
serve per la ricerca dei numeri primi. E’ il primo scienziato che
misura il meridiano terrestre . |
FIGURA 03
La biblioteca di Costantinopoli
In questa biblioteca si trova il famoso palinsesto
( pergamena sulla quale il testo più
antico , lavato e raschiato , viene sostituito con uno nuovo ) che
contiene l’unica copia dell’opera più famosa di Archimede dal titolo
<< Metodo
sui teoremi meccanici >> .
E’ una lettera di 174 pagine inviata
da Archimede ad Eratostene nella quale fa vedere come è possibile
calcolare l’area di un segmento parabolico utilizzando i segmenti
pesanti,paragonabili agli attuali trapezoidi infinitesimi che stanno
alla base del moderno calcolo infinitesimale.Il testo di
Archimede,copiato a Costantinopoli mille anni fa , era stato
sostituito nel XII secolo ,da un “ Eucologion
“,una raccolta di preghiere della Chiesa ortodossa orientale . Il
manoscritto venne scoperto casualmente nel 1899 da un paleografo
greco ,
Athanassios Papadopulos Kerameus,nel
monastero del santo Sepolcro di Gerusalemme . Successivamente il manoscritto
fu depositato presso la biblioteca
Metochion di
Costantinopoli e scoperto
nel 1906 dal
filologo danese
Heiberg
. |
Archimede ed il
palinsesto di Costantinopoli
Archimede può essere considerato il più grande genio
scientifico di tutti i tempi ed il primo vero grande precursore dell’attuale
analisi matematica.Il grande merito di Archimede non risiede tanto nei
risultati ottenuti,che sono molti e di grande spessore scientifico,bensì nel
metodo nuovo da lui escogitato per conseguire tali risultati,come
illustreremo con dovizia di particolari nel prosieguo di questo articolo.
Archimede
nacque a Siracusa nel a.
C. .Secondo alcuni era figlio dell’astronomo Fidia e parente di
Gerone,re di Siracusa.Studiò in Egitto con i successori di
Euclide :Conone da Samo,Eratostene
da Cirene.Morto Gerone (
a. C.),Siracusa cadde nel disordine.Dopo un breve regno di Gelone,il
figlio Ieronimo fu ucciso e fu proclamata la repubblica.Siracusa
si alleò con i Cartaginesi di Annibale e la guerra contro i Romani fu
inevitabile.Roma inviò il console Marcello il quale,dopo avere
conquistato Leontini,assediò Siracusa . Soltanto con l’inganno e dopo due
anni di terrore,Siracusa venne conquistata e barbaramente saccheggiata.<< Un
legionario entra in una casa apparentemente disabitata e trova nel giardino
un vecchio che disegna figure sulla sabbia.Il vegliardo solleva appena lo
sguardo,vede solo che un piede sta calpestando quei segni e dice
semplicemente: noli turbare meos circulos.
Quasi nello stesso istante
la spada crudele del rude legionario pone fine ai suoi giorni ( i Romani,al
contrario dei Greci,erano ottimi soldati ma pessimi matematici ) >> Marcello
fu assai dispiaciuto quando seppe dell’accaduto.Fece seppellire
Archimede
con tutti gli onori e gli elevò un monumento funebre che rimase dimenticato
per secoli. Archimede
aveva chiesto ad amici e parenti di scolpire sulla sua
tomba un cilindro circoscritto ad una sfera con una iscrizione che indicasse
il rapporto tra i volumi e le superfici dei due solidi.Questo per ricordare
all’intera umanità che aveva scoperto che la superficie della sfera è
equivalente alla superficie laterale del cilindro ad essa circoscritto e che
il rapporto tra i volumi della sfera e del cilindro circoscritto vale
.Cicerone
nel a.
C. lo rintracciò,trovò su di esso la sfera inscritta nel cilindro e
dimostrò al mondo che Archimede non era un mito ma un uomo veramente
vissuto .Moltissime e di ottima fattura sono le investigazioni contenute
nelle sue opere. Qui ci limitiamo ad elencare le caratteristiche principali
dei suoi lavori che esprimono sempre la genialità dell’autore. Nell’opuscolo
sulla misura del cerchio Archimede introduce,senza approfondirlo,il
concetto di infinitesimo e presenta i primi procedimenti rigorosi
relativi alla determinazione approssimata del rapporto
della
circonferenza al suo diametro spingendo i suoi calcoli fino ai poligoni
regolari inscritti e circoscritti di lati
.
|
Di carattere analogo sono i due libri << Della sfera e del cilindro >>
nei quali,oltre alle regole per la determinazione di aree e volumi dei
solidi geometrici,sono risolti svariati problemi sui solidi equivalenti.Di
natura più elevata è il contenuto degli scritti dal titolo:conoidi e
sferoidi ove vengono trattati misure relative ai solidi di rotazione.Con
metodi sempre rigorosi ma ingegnosi si trovano trattate importanti proprietà
ed applicazioni nell’opera:”
quadratura della parabole e spirali”
. In questa opera il Nostro studia per la prima
volta la spirale che porta il suo nome e cioè la spirale di Archimede.Particolarmente
apprezzabile è l’opera denominata Arenario nella quale si trova un
originale sistema di numerazione col quale si può rappresentare ( con
simboli relativamente semplici ) non solo il numero dei granelli di sabbia
di un mucchio grande quanto la terra ma anche quello di una quantità di
sabbia grande quanto tutto l’universo.Non possiamo non ricordare il suo
trattato sui Galleggianti ( ampia e metodica esposizione di
idrostatica ) nel quale espone ed applica il suo famoso principio di
Archimede. Ma l’opera più importante di
Archimede e che lo rende
immortale nel mondo della conoscenza è il
“Metodo”
scoperta quasi per caso nel 1906.Quest’opera,che fa di Archimede un gigante
della matematica,contiene procedimenti ed osservazioni che poi ritroveremo
nelle opere di Cavalieri,Torricelli,Newton e Leibnitz.Il Metodo può essere
considerato,pur con le dovute precauzioni,il primo trattato di calcolo
integrale.Il Metodo è uno scritto di Archimede del quale si
conoscevano soltanto alcuni frammenti riportati da Erone e riprodotti
poi da Piero della Francesca e Luca Pacioli.L’opera è
importante perché in essa Archimede espone,con rara maestria,un procedimento
mediante il quale è possibile scoprire proprietà relative a curve,superfici
e volumi difficilmente deducibili per altra via. Questo scritto anticipa di
due millenni i procedimenti utilizzati dal moderno calcolo infinitesimale |
L’opera è una lunga lettera scritta da Archimede ed inviata al
matematico Eratostene. Trascurata dai suoi contemporanei non aveva
avuto sorte migliore presso i suoi successori e forse,per questo motivo,era
stata accantonata e smarrita .La copia più antica delle opere di
Archimede è
un manoscritto del decimo secolo che ci è pervenuto attraverso una serie di
peripezie.Nel il
filologo danese Heiberg,quasi per caso,scorre l’elenco degli
antichi manoscritti conservati nella Biblioteca Gerosolimitana di
Costantinopoli e si accorge che uno di essi potrebbe contenere le opere
di Archimede.Scrive al responsabile della biblioteca e si fa mandare
una fotografia di qualche pagina.Quando legge il contenuto non ha più dubbi
: si tratta di un antico prezioso manoscritto in
greco,su pergamena,forse del
d.C.,con
scritti di Archimede
. Heiberg va a Costantinopoli e decifra con grande fatica il documento
perché qualcuno,verso il ,aveva
voluto riutilizzare la stessa vecchia pergamena cancellando le opere di
Archimede per scrivere cose di poco interesse.Con sua grande gioia negli
ultimi fogli scopre un’opera di Archimede che si riteneva perduta.Si tratta
di una copia della lettera scritta da Archimede al grande matematico
Eratostene che dirigeva la famosa biblioteca di Alessandria e contenente
l’opera più importante di Archimede
: il
Metodo sui teoremi meccanici.
In tale opera
Archimede fornisce dei metodi generali con i quali è possibile scoprire
proprietà sulle curve,sulle superfici, sui solidi non ancora note alla
scienza del tempo. Quest’opera,pur con le dovute precauzioni,anticipa nella
sostanza i metodi utilizzati dall’attuale calcolo infinitesimale. Il suo è un
metodo di scoperta e non di dimostrazione in quanto il sommo pensatore non
avendo raggiunto una sistemazione critica della sua rudimentale analisi
infinitesimale, sente la necessità di chiedere al ragionamento per
esaustione la sicura conferma dei risultati che sulle aree,sui volumi egli
andava conquistando.Archimede riguarda ogni superficie come composta
da tanti segmenti di retta,paralleli ad una data direzione ,che la riempiono
tutta ed ognuno di detti segmenti rappresenta l’elemento infinitesimo
costitutivo della figura. Per calcolare l’area del segmento parabolico
immagina
di utilizzare una ipotetica leva di primo genere di
fulcro K. Considera poi i segmenti ed
come
fili omogenei pesanti ed immagina di trasportare il segmento
nella
posizione (
)
in modo che H sia il suo baricentro. Affinché i segmenti pesanti
ed
siano
in equilibrio , deve valere la seguente proporzione:
( condizione di equilibrio per una leva di primo genere che
Archimede
aveva
dimostrato in precedenza ).
Dalla proporzione deduce
la proporzione .
Questo
consente ad Archimede di affermare che il triangolo
è
il triplo del segmento parabolico e
questo,a sua volta,è i del
triangolo .E
così Archimede , sfruttando le condizioni di equilibrio di due corpi pesanti
sospesi idealmente agli estremi di un a leva di primo genere,trasforma
l’integrale incognito ( area del segmento parabolico
)
in un integrale noto ( area del triangolo ).
004
Successivamente,per
non contrapporsi ai canoni classici del sapere scientifico del suo tempo,
dimostra il risultato trovato con la leva servendosi del metodo di
esaustione,eliminando così le insidie dell’infinito attuale. Concludendo
,possiamo affermare che Archimede ricorre a procedimenti rigorosi,come il
metodo di esaustione,per dimostrare delle proprietà scoperte per altra via
facendo ricorso alla sua intuizione o meglio a procedimenti che anticipano
di due millenni la nascita del calcolo infinitesimale. |
FIGURA
04
Eudosso di Cnido
Grande matematico
greco del quarto secolo a.C.,amico e discepolo di Platone . A lui si
deve la teoria delle proporzioni esposta nel V libro degli
Elementi di Euclide . Per non servirsi dell ‘ <<
infinito attuale >> e degli infinitesimi attuali,vietati da
Aristotele ,applica in tutte le sue dimostrazioni uno schema
di ragionamento molto rigoroso che nel 1647 fu chiamato da
Grégoire de Saint Vincent:metodo di esaustione che può essere
applicato secondo due procedimenti diversi nella forma ma non nella
sostanza . Ad esempio ,se vogliamo dimostrare che due
grandezze omognee A e B sono uguali ,basta verificare che non è
possibile averee né
e
quindi,per il principio del terzo escluso ( tertium non datur
) deve essere .Applichiamo
ancora il metodo di esaustione e dimostriamo l’uguaglianza delle due
grandezze se verifichiamo che la differenza
finisce
col diventare piccola a piacere . Il metodo di esaustione,utilizzato
in maniera sistematico fino al seicento , ci consente soltanto di
dimostrare un risultato già noto.Anche il grande matematico
siracusano applica sistematicamente il metodo di esaustione ma per
dimostrare risultati ai quali è pervenuto utilizzando una
teoria,rivoluzionaria per il suo tempo ma che contiene il DNA
dell’attuale calcolo infinitesimale . |
FIGURA 05
ARCHIMEDE
Stella di prima
grandezza,si fa apprezzare per l’originalità del suo pensiero,per
l’acutezza del suo ingegno,per l’originalità delle sue scoperte.Nell’opera
il << Metodo >>
Archimede ci spiega come sia possibile calcolare l’area di un
segmento parabolico utilizzando,come indivisibili di una superficie
piana a contorno curvilineo ,infiniti segmenti,dotati di peso ed
equivalenti ai trapezoidi infinitesimi dell’attuale calcolo
integrale.Con quest’opera Archimede elabora il calcolo
infinitesimale anticipando di due millenni Torricelli,
Cavalieri,Newton e Leibnitz.Per questo motivo può
essere considerato il primo matematico autore di una teoria sul
calcolo infinitesimale .
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FIGURA 06
Aristotele
Aristotele
nasce a Stagira nel 384 a.C. , entra nella scuola di
Platone a diciassette
anni e vi rimane per venti anni , cioè fino alla morte del maestro (
348 a.C. ) . Nel 342 a.C. è chiamato a Pella da
Filippo re della Macedonia
in qualità di precettore di Alessandro Magno . Nell’Accademia,la
celebre scuola di Platone , Aristotele conosce i più noti scienziati
dell’epoca , a cominciare dal famoso matematico
Eudosso di Cnido . Nel
335 a.C.,morto Filippo e salito Alessandro al trono della Macedonia
, Aristotele torna ad Atene dove fonda la celebre scuola denominata
Liceo . Nel 323 a.C.
, morto Alessandro , ci fu in Atene una forte reazione antimacedone
. Per sfuggire ai nemici ,Aristotele si ritira a Calcide , dove
muore nel 322 a.C. Egli può essere considerato la mente
filosofica più universale del mondo greco ; Dante lo definisce il <<
maestro di color che sanno
>> . Grande naturalista , lascia lavori fondamentali nel campo delle
scienze biologiche . Nel campo della fisica dà un notevole
contributo con l’opera denominata la
Fisica nella quale,dopo
una introduzione storica,tratta.a) della natura e del concetto di
corpo e del movimento;b) dello spazio e del tempo;c) delle forme del
movimento .Con quest’opera il Nostro si pone l’obiettivo di
spiegarci non solo come il mondo è costituito ma perché esso è
costituito proprio così e non in un’altra maniera.Alle scienze
matematiche Aristotele dedica poco tempo;va detto,però,che l’avere
affermato che l’infinito
attuale,e quindi anche l’infinitesimo
attuale , non esiste (
infinitum actu non datur
) ha avuto una influenza negativa sul pensiero matematico dei suoi
successori.Egli,infatti,ritiene possibile soltanto la divisione di
un continuo ( ad esempio una linea piana ) in un numero quanto si
vuole grande di parti,mediante una infinità potenziale di
suddivisioni successive,sempre prolungabili ma mai esauribili.Nega,così,l’esistenza
di un continuo,composto da una infinità in atto di ultimi
elementi indivisibili.Il conflitto aristotelico tra l’infinito
potenziale e quello attuale,che traduce il problema della
composizione del continuo,sarà risolto definitivamente dal
matematico tedesco Georg Cantor,autore
di una aritmetica dei numeri
trasfiniti,secondo cui,in determinate circostanze,il
tutto può essere uguale ad una sua parte. |
FIGURA 07
Archimede pesa la parabola Per
Archimede una qualsiasi superficie
piana a contorno curvilineo è formata da tanti segmenti paralleli
che la riempiono tutta.L’area della superficie piana è la somma
delle aree degli infiniti segmenti che costituiscono gli elementi
indivisibili della superficie stessa.Ma sommare le aree di questi
infiniti segmenti non è facile per i seguenti motivi : se questi
segmenti hanno area nulla,la loro somma è zero,se hanno area
piccola, ma finita,la loro somma non può essere una quantità finita. Il
Nostro risolve il problema attribuendo ad ogni segmento un peso che
rappresenta l’area di un trapezoide infinitesimo
inscritto nel segmento parabolico , secondo le
vedute dell’attuale calcolo infinitesimale . Oggi sappiamo, la
somma di infiniti termini infinitesimi può essere una quantità
finita. Inoltre Archimede usa il << metodo meccanico >> per
scoprire una proprietà che poi dimostrerà rigorosamente col metodo
di esaustione seguendo la tradizione classica di Euclide:questo per
non contraddire la concezione filosofica dell’infinito attuale
sostenuta da Aristotele e seguita da tutti gli scienziati del suo
tempo . |
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